라그랑주 승수법 (Lagrange Multipliers)

라그랑주 승수법 (Lagrange Multipliers)란?

라그랑주 승수법은 제약 조건이 있는 최적화 문제를 풀기 위한 수학적 방법이야.
즉, 어떤 함수의 극값(최대값 또는 최소값)을 찾되, 특정한 조건을 만족해야 할 때 사용하는 방법이지.

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1. 기본 개념

우리는 보통 함수를 최적화(최대값, 최소값을 찾는 것)할 때, 단순히 미분해서 f'(x) = 0을 푸는 방식으로 해결할 수 있어.
하지만, 어떤 제약 조건(constraint)이 주어졌을 때는 일반적인 미분만으로 풀기가 어려워져.

예를 들어:

"어떤 2차 함수의 최대값을 구하되, 반드시 원 위에서만 값을 찾아야 한다."

이런 경우, 라그랑주 승수법을 사용하면 쉽게 최적화 문제를 해결할 수 있어.

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2. 문제 설정

우리는 어떤 함수 f(x,y) 를 최적화(최대 또는 최소)하려고 해.
하지만, 이 함수에는 다음과 같은 제약 조건이 주어진다고 하자:

$$g(x,y)=0$$

즉, $f(x,y)$ 를 최적화하지만, 반드시 g(x,y)=0을 만족하는 값만 고려해야 한다.

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3. 라그랑주 함수 만들기

라그랑주 승수법은 새로운 함수를 정의해서 제약 조건을 반영하는 방법이야.
우리는 라그랑주 함수(Lagrangian)라는 함수를 만들 거야:

$$L(x,y,\lambda)=f(x,y)+\lambda g(x,y)$$

여기서:

• L : 라그랑주 함수
• λ : 라그랑주 승수 (Lagrange Multiplier) → 제약 조건의 영향력을 결정하는 값

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4. 식을 푸는 방법

라그랑주 승수법의 핵심 아이디어는 편미분하여 0이 되는 점을 찾는 것이야.

다음 세 개의 식을 푼다:

1. $\frac{\partial L}{\partial x}=0$ (라그랑주 함수의 x에 대한 편미분)
2. $\frac{\partial L}{\partial y}=0$ (라그랑주 함수의 y에 대한 편미분)
3. $g(x,y)=0$ (주어진 제약 조건)

이렇게 연립 방정식을 풀어서 극값을 구하는 거야.

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5. 예제 문제 (고등학생 수준)

문제:
함수 $f(x,y)=x^2+y^2$ 의 최소값을 구하되, 제약 조건 $x+y-1=0$ 을 만족해야 한다.

① 라그랑주 함수 설정

우리는 다음과 같은 라그랑주 함수를 만든다:

$$L(x,y,\lambda)=x^2+y^2+\lambda(x+y-1)$$

② 편미분 계산

각 변수에 대해 미분한 후, 0이 되는 값을 찾는다.

1. $\frac{\partial L}{\partial x}=2x+\lambda=0$ → $2x+\lambda=0$
2. $\frac{\partial L}{\partial y}=2y+\lambda=0$ → $2y+\lambda=0$
3. $x+y-1=0$

③ 연립 방정식 풀기

• $\lambda=-2x$
• $\lambda=-2y$
• 따라서, $x=y$

제약 조건 $x+y=1$을 대입하면,

$x+x=1 \Rightarrow 2x=1 \Rightarrow x=\frac{1}{2}, y=\frac{1}{2}$

④ 최소값 계산

$f(x,y)=x^2+y^2=\frac{1}{4}+\frac{1}{4}=\frac{1}{2}$

👉 최소값은 $\frac{1}{2}$ 이다! 🎯

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6. 라그랑주 승수법의 의미

라그랑주 승수법의 핵심 아이디어는 등고선(Contour Line)과 제약 조건이 만나는 점에서 최적화가 발생한다는 거야.
즉, 우리가 찾는 해는 제약 조건을 따르면서도 최적화가 되는 점이지.

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7. 정리

1. 제약 조건이 있는 최적화 문제를 풀 때 사용한다.
2. 라그랑주 함수를 만든다: $L=f(x,y)+\lambda g(x,y)$
3. 편미분 후 연립 방정식을 풀어서 해를 구한다.
4. 최대값, 최소값을 판별하여 정답을 찾는다.